kaoyan1basic 高等数学 第150题
📝 题目
## 第150题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ． 答题 区 ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)$以3为周期，故$f(1)=f(4)$，$f'(1)=f'(4)=1$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1-3\tan h)}{h}$，分子用导数定义：$f(1+h)-f(1)\sim f'(1)h$，$f(1-3\tan h)-f(1)\sim f'(1)(-3\tan h)\sim -3h$，故原式$\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{f'(1)h - (-3h)}{h}=f'(1)+3=1+3=4$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用周期性简化函数值
由于f(x)以3为周期，所以f(1)=f(4)，且f'(1)=f'(4)=1。
公式：f(x+3)=f(x)
提示：周期函数导数也周期
步骤 2/3
目标：将极限表达式变形为导数定义形式
原极限为lim_{h→0} [f(1+h)-f(1-3tan h)]/h。考虑分子加减f(1)：f(1+h)-f(1)和f(1-3tan h)-f(1)。
提示：加减同一项构造导数
步骤 3/3
目标：应用导数定义求极限
由导数定义：f(1+h)-f(1) ~ f'(1)h，f(1-3tan h)-f(1) ~ f'(1)(-3tan h) ~ -3h（因为tan h~h）。所以原式=lim_{h→0} [f'(1)h - (-3h)]/h = f'(1)+3 = 1+3=4。
公式：f'(x)=lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h
提示：tan h~h (h→0)
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