kaoyan1basic 高等数学 第151题
📝 题目
## 第151题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)=|x-a|g(x)$在$x=a$处可导，则$\displaystyle f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{|x-a|g(x)-0}{x-a}$存在。 步骤2：左导数$\displaystyle \lim_{x\to a^-}\frac{-(x-a)g(x)}{x-a}=-g(a)$，右导数$\displaystyle \lim_{x\to a^+}\frac{(x-a)g(x)}{x-a}=g(a)$，两者相等得$g(a)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用可导的定义，写出导数存在的极限形式
由f(x)在x=a处可导，则f'(a)=lim_{x→a} (f(x)-f(a))/(x-a)存在。由于f(a)=|a-a|g(a)=0，所以f'(a)=lim_{x→a} |x-a|g(x)/(x-a)。
公式：f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{|x-a|g(x)}{x-a}
提示：注意f(a)=0，因为|x-a|在x=a处为0。
步骤 2/3
目标：分别计算左导数和右导数
左导数：lim_{x→a^-} |x-a|g(x)/(x-a) = lim_{x→a^-} -(x-a)g(x)/(x-a) = -g(a)。右导数：lim_{x→a^+} |x-a|g(x)/(x-a) = lim_{x→a^+} (x-a)g(x)/(x-a) = g(a)。
公式：左导数=-g(a)，右导数=g(a)
提示：当xa时，|x-a|=x-a。
步骤 3/3
目标：由可导推出左右导数相等，得到g(a)的方程
由于f(x)在x=a处可导，左导数等于右导数，即-g(a)=g(a)，解得g(a)=0。
公式：-g(a)=g(a) ⇒ g(a)=0
提示：注意g(x)在x=a处连续，但此处不需要用到连续性条件。
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