kaoyan1basic 高等数学 第152题
📝 题目
## 第152题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ． □
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)=x^2 e^{3x}$，利用莱布尼茨公式求$n$阶导数在$x=0$处的值。 步骤2：$e^{3x}$的$k$阶导数为$3^k e^{3x}$，在$x=0$处为$3^k$。$x^2$的导数：二阶以上为0。 步骤3：$f^{(n)}(0)=C_n^2 \cdot 2! \cdot 3^{n-2} = n(n-1) \cdot 3^{n-2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别函数形式并选择求导方法
函数 f(x)=x^2 e^{3x} 是幂函数与指数函数的乘积，求 n 阶导数在 x=0 处的值，适合使用莱布尼茨公式。
公式：莱布尼茨公式：(uv)^{(n)} = ∑_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}
提示：注意 u=x^2 只有有限项非零，简化计算。
步骤 2/4
目标：计算各组成部分的导数
设 u=x^2，v=e^{3x}。u 的导数：u'=2x，u''=2，u^{(k)}=0 (k≥3)。v 的 k 阶导数：v^{(k)}=3^k e^{3x}，在 x=0 处 v^{(k)}(0)=3^k。
公式：v^{(k)}(x)=3^k e^{3x}
提示：指数函数的导数规律：每求导一次乘以系数 3。
步骤 3/4
目标：应用莱布尼茨公式并代入 x=0
f^{(n)}(0) = ∑_{k=0}^n C_n^k u^{(k)}(0) v^{(n-k)}(0)。由于 u^{(k)}(0) 仅在 k=0,1,2 时非零，故只需计算 k=0,1,2 三项。
公式：f^{(n)}(0) = C_n^0 u(0) v^{(n)}(0) + C_n^1 u'(0) v^{(n-1)}(0) + C_n^2 u''(0) v^{(n-2)}(0)
提示：u(0)=0，u'(0)=0，u''(0)=2，因此只有 k=2 项贡献。
步骤 4/4
目标：计算最终结果
代入 u''(0)=2，v^{(n-2)}(0)=3^{n-2}，得 f^{(n)}(0) = C_n^2 * 2 * 3^{n-2} = n(n-1)/2 * 2 * 3^{n-2} = n(n-1) * 3^{n-2}。
公式：C_n^2 = n(n-1)/2
提示：注意组合数化简，最终结果与选项 C 一致。
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