kaoyan1basic 高等数学 第153题
📝 题目
## 第153题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是 （A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ． （C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ． （D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑函数$|f(x)|$在$x=a$处的可导性。若$f(a)=0$，则$|f(x)|$在$x=a$处可导当且仅当$f'(a)=0$。 步骤2：当$f(a)=0$且$f'(a) \neq 0$时，$|f(x)|$在$x=a$处左右导数分别为$-|f'(a)|$和$|f'(a)|$，不相等，故不可导。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析函数|f(x)|在x=a处可导的条件
若f(a)≠0，则|f(x)|在x=a处可导（因为f(x)连续且非零，绝对值函数在非零点可导）。若f(a)=0，则|f(x)|在x=a处可导当且仅当f'(a)=0。
提示：考虑绝对值函数在零点附近的行为，需要左右导数相等。
步骤 2/2
目标：确定不可导的充分必要条件
由步骤1，|f(x)|在x=a处不可导当且仅当f(a)=0且f'(a)≠0。此时左右导数分别为-|f'(a)|和|f'(a)|，不相等。
提示：注意f'(a)≠0时，左右导数符号相反。
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