kaoyan1basic 高等数学 第154题
📝 题目
## 第154题 (高等数学 - 选择题) 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。 （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：已知$\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = \lim_{x \to x_0^-} f'(x) = a$，但未假设$f(x)$在$x_0$处连续。 步骤2：例如$f(x)=\begin{cases} x+1, & x>0 \\ x, & x \leq 0 \end{cases}$，在$x=0$处左右导数极限均为1，但$f(x)$不连续，故不可导。因此以上结论都不对。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件
已知lim_{x→x0+} f'(x) = lim_{x→x0-} f'(x) = a，但未假设f(x)在x0处连续。
提示：注意导数极限存在不能直接推出函数可导，需要连续性条件。
步骤 2/3
目标：构造反例
考虑分段函数f(x) = { x+1, x>0; x, x≤0 }，在x=0处，左导数f'(0-)=1，右导数f'(0+)=1，但f(0)=0，f(0+)=1，函数不连续，因此不可导。
提示：反例中函数在x0处不连续，但左右导数极限相等。
步骤 3/3
目标：得出结论
由于存在反例，选项A、B、C均不正确，故选D。
提示：注意导数极限存在不能保证函数连续，更不可导。
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