kaoyan1basic 高等数学 第155题
📝 题目
## 第155题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． □
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：令$u = x+t$，则$t = u-x$，$dt = du$，当$t=-x$时$u=0$，当$t=0$时$u=x$，故$g(x) = \int_0^x (u-x) f(u) du = \int_0^x u f(u) du - x \int_0^x f(u) du$。 步骤2：求导得$g'(x) = x f(x) - \int_0^x f(u) du - x f(x) = -\int_0^x f(u) du$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简积分表达式
令 u = x + t，则 t = u - x，dt = du。当 t = -x 时，u = 0；当 t = 0 时，u = x。代入得 g(x) = ∫_0^x (u - x) f(u) du = ∫_0^x u f(u) du - x ∫_0^x f(u) du。
公式：g(x) = ∫_0^x (u - x) f(u) du
提示：注意积分限变换时上下限对应关系。
步骤 2/2
目标：对 g(x) 求导
g'(x) = d/dx [∫_0^x u f(u) du] - d/dx [x ∫_0^x f(u) du] = x f(x) - [∫_0^x f(u) du + x f(x)] = -∫_0^x f(u) du。
公式：g'(x) = -∫_0^x f(u) du
提示：利用变上限积分求导公式和乘积求导法则。
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