kaoyan1basic 高等数学 第156题
📝 题目
## 第156题 (高等数学 - 选择题) 设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则 （A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。 （B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ． （C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。 （D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：设切点为$(x_0, a^{x_0})$，切线斜率$k = a^{x_0} \ln a$，切线方程为$y - a^{x_0} = a^{x_0} \ln a (x - x_0)$。 步骤2：由于$y=x$是切线，故斜率$k=1$，且切点在$y=x$上，即$a^{x_0}=x_0$。代入得$x_0 \ln a = 1$，结合$a^{x_0}=x_0$解得$x_0 = e$，$a = e^{1/e}$，切点为$(e, e)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设切点并写出切线方程
设切点为(x0, a^{x0})，则切线斜率为k = a^{x0} ln a，切线方程为y - a^{x0} = a^{x0} ln a (x - x0)。
公式：y - a^{x0} = a^{x0} ln a (x - x0)
提示：注意指数函数的导数公式： (a^x)' = a^x ln a。
步骤 2/3
目标：利用切线条件建立方程
因为切线为y=x，所以斜率k=1，且切点在y=x上，即a^{x0}=x0。代入斜率公式得a^{x0} ln a = 1，结合a^{x0}=x0得x0 ln a = 1。
公式：x0 ln a = 1, a^{x0} = x0
提示：注意切点既在曲线上也在切线上。
步骤 3/3
目标：解出切点和常数a
由x0 ln a = 1得ln a = 1/x0，代入a^{x0}=x0得e^{x0*(1/x0)}=e^1=x0，所以x0=e。进而ln a = 1/e，a = e^{1/e}。切点为(e, e)。
公式：a = e^{1/e}, 切点(e, e)
提示：利用指数和对数恒等式：a^{x0} = e^{x0 ln a}。
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