kaoyan1basic 高等数学 第157题
📝 题目
## 第157题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle g'(x) = \frac{-f'(x) x - (1-f(x))}{x^2} = \frac{-x f'(x) - 1 + f(x)}{x^2}$。 步骤2：由$f(0)=0$及$f'(x)$严格单调增，利用拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0,x)$使$f(x)=f'(\xi)x$，且$f'(\xi) < f'(x)$，故$f(x) < x f'(x)$，从而$g'(x) < 0$，$g(x)$单调减。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导并化简
对 g(x) = (1-f(x))/x 求导，得到 g'(x) = [-f'(x)x - (1-f(x))]/x^2 = [-x f'(x) - 1 + f(x)]/x^2。
公式：g'(x) = \frac{-x f'(x) - 1 + f(x)}{x^2}
提示：注意商的导数公式，分子求导时不要漏掉负号。
步骤 2/3
目标：利用已知条件判断分子符号
由 f(0)=0 及 f'(x) 严格单调增，对任意 x>0，由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(0,x) 使得 f(x)=f'(ξ)x。由于 f'(ξ) < f'(x)（严格单调增），所以 f(x) < x f'(x)。代入分子得 -x f'(x) - 1 + f(x) < -x f'(x) - 1 + x f'(x) = -1 < 0。因此 g'(x) < 0。
公式：f(x)=f'(\xi)x, \quad f'(\xi) < f'(x) \Rightarrow f(x) < x f'(x)
提示：拉格朗日中值定理的应用：将函数值差与导数联系起来。
步骤 3/3
目标：得出结论
由于 g'(x) < 0 对所有 x>0 成立，所以 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递减。
提示：导数小于零则函数单调递减。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。