kaoyan1basic 高等数学 第158题
📝 题目
## 第158题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得 （A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升． （B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ． （C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ． （D）$f(x)
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$f'(x_0)>0$及导数定义，$\displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。 步骤2：由极限保号性，存在$\delta>0$，当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时，$\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，即$f(x) > f(x_0)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用导数定义和极限保号性推导结论
由 $f'(x_0)>0$ 及导数定义，有 $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。根据极限保号性，存在 $\delta>0$，使得当 $x \in (x_0, x_0+\delta)$ 时，$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，即 $f(x) > f(x_0)$。
公式：$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0$
提示：注意极限保号性只能保证在 $x_0$ 的右侧邻域内 $f(x)>f(x_0)$，左侧邻域内 $f(x)
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