kaoyan1basic 高等数学 第159题
📝 题目
## 第159题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$ （A）是 $f(x)$ 的极小值点． （B）是 $f(x)$ 的极大值点． （C）不是 $f(x)$ 的极值点． （D）是 $f(x)$ 的拐点．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：将$x=a$代入方程，由$f'(a)=0$得$(a-1)f''(a) = 1 - e^{1-a}$。 步骤2：由于$a \neq 1$，$\displaystyle f''(a) = \frac{1 - e^{1-a}}{a-1}$。当$a>1$时，$1-e^{1-a}>0$，$a-1>0$，故$f''(a)>0$；当$a<1$时，$1-e^{1-a}<0$，$a-1<0$，故$f''(a)>0$。因此$f''(a)>0$，$x=a$是极小值点。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：代入已知条件，得到f''(a)的表达式
将x=a代入方程(x-1)f''(x)+2(x-1)[f'(x)]^3=1-e^{1-x}，由f'(a)=0得(a-1)f''(a)=1-e^{1-a}。
公式：(a-1)f''(a)=1-e^{1-a}
提示：注意代入后化简，利用f'(a)=0消去含f'(x)的项。
步骤 2/3
目标：解出f''(a)并判断符号
由于a≠1，两边除以a-1得f''(a)=(1-e^{1-a})/(a-1)。分情况讨论：当a>1时，1-e^{1-a}>0，a-1>0，故f''(a)>0；当a<1时，1-e^{1-a}<0，a-1<0，故f''(a)>0。因此f''(a)>0。
公式：f''(a)=\frac{1-e^{1-a}}{a-1}
提示：注意指数函数e^{1-a}的单调性：当a>1时，1-a<0，e^{1-a}<1；当a<1时，1-a>0，e^{1-a}>1。
步骤 3/3
目标：根据极值判定定理得出结论
由f'(a)=0且f''(a)>0，根据极值第二充分条件，x=a是f(x)的极小值点。
提示：极值第二充分条件：若f'(x0)=0且f''(x0)>0，则x0为极小值点。
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