kaoyan1basic 高等数学 第160题
📝 题目
## 第160题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则 （A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值． （B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值． （C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标． （D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f''(x)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} > 0$及极限保号性，存在$\delta>0$，当$0<|x-1|<\delta$时，$f''(x)>0$。 步骤2：$f''(x)$在$x=1$附近恒正，故$f'(x)$单调增，结合$f'(1)=0$，得$x=1$左侧$f'(x)<0$，右侧$f'(x)>0$，因此$f(1)$是极小值。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用极限保号性判断f''(x)的符号
由极限 lim_{x→1} f''(x)/(x-1)^2 = 1/2 > 0，根据极限的保号性，存在δ>0，当0<|x-1|<δ时，f''(x)/(x-1)^2 > 0，从而f''(x) > 0。
公式：lim_{x→1} f''(x)/(x-1)^2 = 1/2
提示：注意分母(x-1)^2非负，因此f''(x)与比值同号。
步骤 2/3
目标：由f''(x)>0推出f'(x)单调性
在x=1的某去心邻域内，f''(x)>0，故f'(x)在该邻域内单调递增。
公式：f''(x)>0 ⇒ f'(x)单调递增
提示：二阶导数大于0可推出导函数单调递增。
步骤 3/3
目标：结合f'(1)=0判断f'(x)的符号
由于f'(x)单调递增且f'(1)=0，当x<1且接近1时，f'(x)<0；当x>1且接近1时，f'(x)>0。因此f(x)在x=1左侧递减，右侧递增，故f(1)为极小值。
公式：f'(1)=0，f'(x)左负右正 ⇒ f(1)极小
提示：极值判定：一阶导数变号，左减右增为极小值。
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