kaoyan1basic 高等数学 第161题
📝 题目
## 第161题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(0)=2-\cos 0 = 1$，$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sqrt{0}+1 = 1$，$f(x)$连续。 步骤2：$x<0$时$f'(x)=\sin x$，$x>0$时$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$f'_-(0)=0$，$f'_+(0)=+\infty$，导数不存在，但$f(0)=1$为极小值（左减右增）。 步骤3：$x<0$时$f''(x)=\cos x$，$x>0$时$\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}$，$f''_-(0)=1$，$f''_+(0)=-\infty$，二阶导数变号，故$(0,1)$是拐点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：验证函数在x=0处的连续性
计算f(0)=2-cos0=1，右极限lim_{x→0+}f(x)=√0+1=1，左极限lim_{x→0-}f(x)=2-cos0=1，故f(x)在x=0处连续。
公式：f(0)=1, lim_{x→0+}f(x)=1, lim_{x→0-}f(x)=1
提示：分段函数连续性的判断需分别计算左右极限和函数值。
步骤 2/3
目标：判断x=0是否为极值点
x<0时f'(x)=sinx，f'_-(0)=0；x>0时f'(x)=1/(2√x)，f'_+(0)=+∞。导数不存在，但x<0时f'(x)<0（x<0时sinx<0），x>0时f'(x)>0，故f(0)=1为极小值。
公式：f'_-(0)=0, f'_+(0)=+∞
提示：极值点处导数可能不存在，需通过导数符号变化判断。
步骤 3/3
目标：判断(0,1)是否为拐点
x<0时f''(x)=cosx，f''_-(0)=1；x>0时f''(x)=-1/(4x^{3/2})，f''_+(0)=-∞。二阶导数变号（左正右负），故(0,1)是拐点。
公式：f''_-(0)=1, f''_+(0)=-∞
提示：拐点处二阶导数可能不存在，需检查左右二阶导数符号是否相反。
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