kaoyan1basic 高等数学 第162题
📝 题目
## 第162题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，则下述命题中正确的是 （A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ． （B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ． （C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标． （D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：A错误，反例$f(x)=x^3$单调增但$f'(0)=0$。 步骤2：B错误，极值点可能导数不存在（如$f(x)=|x|$在$x=0$）。 步骤3：C错误，反例$f(x)=x^4$在$x=0$处$f''(0)=0$但非拐点。 步骤4：D正确，$f'''(x_0) \neq 0$表明$f''(x)$变号，$x_0$不是极值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A的正确性
考虑反例：f(x)=x^3，在(-∞,+∞)上可导且单调增加，但f'(0)=0，不满足f'(x)>0对所有x成立，故A错误。
提示：单调递增不一定导数处处大于0，可能在某些点导数为0。
步骤 2/4
目标：判断选项B的正确性
极值点可能出现在导数不存在的点，例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但导数不存在，故B错误。
提示：极值点的必要条件：若可导，则导数为0；但不可导点也可能是极值点。
步骤 3/4
目标：判断选项C的正确性
考虑反例：f(x)=x^4，在x=0处f''(0)=0，但(0,0)不是拐点，因为f''(x)在x=0两侧同号，故C错误。
提示：拐点要求二阶导数变号，仅二阶导数为0不足以保证。
步骤 4/4
目标：判断选项D的正确性
若f'(x0)=0，f''(x0)=0，f'''(x0)≠0，则x0是拐点，不是极值点。例如f(x)=x^3在x=0处满足条件，且不是极值点。故D正确。
提示：三阶导数不为0表明一阶导数在该点变号，从而不是极值点。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。