kaoyan1basic 高等数学 第166题
📝 题目
## 第166题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为 （A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：参数方程曲率公式$\displaystyle K = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$。 步骤2：$x'=a(1-\cos t)$，$y'=a\sin t$，$x''=a\sin t$，$y''=a\cos t$。 步骤3：$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$时，$x'=a$，$y'=a$，$x''=a$，$y''=0$，代入得$\displaystyle K = \frac{|a \cdot 0 - a \cdot a|}{(a^2+a^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(2a^2)^{3/2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}a}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出参数方程曲率公式
对于参数方程 $x=x(t), y=y(t)$，曲率公式为 $K = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$。
公式：K = \frac{|x'y'' - x''y'|}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}
提示：注意分子是绝对值，分母是 $x'^2+y'^2$ 的 $3/2$ 次方。
步骤 2/4
目标：计算一阶和二阶导数
由 $x = a(t - \sin t)$，$y = a(1 - \cos t)$，求导得：$x' = a(1 - \cos t)$，$y' = a \sin t$；$x'' = a \sin t$，$y'' = a \cos t$。
提示：注意对 $t$ 求导，$a$ 是常数。
步骤 3/4
目标：代入 $t = \frac{\pi}{2}$ 计算各导数值
当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时，$\cos t = 0$，$\sin t = 1$，所以 $x' = a(1-0) = a$，$y' = a \cdot 1 = a$，$x'' = a \cdot 1 = a$，$y'' = a \cdot 0 = 0$。
提示：注意三角函数值：$\cos(\pi/2)=0$，$\sin(\pi/2)=1$。
步骤 4/4
目标：代入曲率公式计算
代入 $x'=a, y'=a, x''=a, y''=0$ 得：$K = \frac{|a \cdot 0 - a \cdot a|}{(a^2 + a^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{(2a^2)^{3/2}} = \frac{a^2}{2^{3/2} a^3} = \frac{1}{2^{3/2} a} = \frac{1}{2\sqrt{2} a}$。
提示：注意 $(2a^2)^{3/2} = 2^{3/2} a^3 = 2\sqrt{2} a^3$，化简时 $a^2$ 与 $a^3$ 约分得 $1/a$。
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