kaoyan1basic 高等数学 第165题
📝 题目
## 第165题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)$，在$[-1,2]$内驻点为$x=0$。 步骤2：计算$f(-1)=a(-1)-6a+b=-7a+b$，$f(0)=b$，$f(2)=8a-24a+b=-16a+b$。 步骤3：$a>0$，最大值$b=3$，最小值$-16a+b=-29$，解得$a=2$，$b=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数并找出驻点
对f(x)=ax^3-6ax^2+b求导得f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)。在区间[-1,2]内，令f'(x)=0得x=0（x=4不在区间内），所以驻点为x=0。
公式：f'(x)=3ax(x-4)
提示：注意驻点必须在区间内才考虑。
步骤 2/3
目标：计算区间端点和驻点的函数值
计算f(-1)=a*(-1)^3-6a*(-1)^2+b = -a-6a+b = -7a+b；f(0)=b；f(2)=a*8-6a*4+b = 8a-24a+b = -16a+b。
公式：f(-1)=-7a+b, f(0)=b, f(2)=-16a+b
提示：代入时注意符号和系数。
步骤 3/3
目标：利用最大值和最小值确定a和b
由于a>0，比较三个函数值：-16a+b < -7a+b < b，所以最大值是b=3，最小值是-16a+b=-29。代入b=3得-16a+3=-29，解得a=2。因此a=2, b=3。
公式：b=3, -16a+b=-29
提示：根据a>0判断大小关系，避免错误。
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