kaoyan1basic 高等数学 第164题
📝 题目
## 第164题 (高等数学 - 选择题) 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为 （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\sqrt[3]{3}$ ． （C）$\sqrt[4]{4}$ ． （D）$\sqrt[5]{5}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑函数$f(x)=x^{1/x}$，$x>0$，取对数求导得$\displaystyle f'(x)=x^{1/x} \cdot \frac{1-\ln x}{x^2}$，令$f'(x)=0$得$x=e$。 步骤2：$f(x)$在$(0,e)$增，$(e,+\infty)$减，故最大值在$x=e$附近。比较$\sqrt[3]{3} \approx 1.442$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt[5]{5} \approx 1.380$，最大项为$\sqrt[3]{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将数列通项转化为函数，便于分析单调性
考虑函数 f(x)=x^{1/x}，x>0，则数列第 n 项为 f(n)。
公式：f(x)=x^{1/x}
提示：取对数后求导可简化运算。
步骤 2/4
目标：求导数并找出极值点
对 f(x) 取自然对数得 ln f(x) = (ln x)/x，两边求导得 f'(x)/f(x) = (1 - ln x)/x^2，故 f'(x) = x^{1/x} * (1 - ln x)/x^2。令 f'(x)=0，得 1 - ln x = 0，即 x=e。
公式：f'(x)=x^{1/x} * (1 - ln x)/x^2
提示：导数符号由 (1 - ln x) 决定。
步骤 3/4
目标：判断单调区间
当 00，f'(x)>0，f(x) 单调递增；当 x>e 时，ln x>1，1-ln x<0，f'(x)<0，f(x) 单调递减。因此 f(x) 在 x=e 处取得最大值。
提示：由于 n 为正整数，最大值在 e 附近的整数处取得。
步骤 4/4
目标：比较 e 附近整数项的值
计算 f(2)=√2≈1.414，f(3)=∛3≈1.442，f(4)=⁴√4=√2≈1.414，f(5)=⁵√5≈1.380。比较可知 f(3) 最大，故数列最大项为 ∛3。
提示：注意 ⁴√4 = 4^{1/4} = (2^2)^{1/4}=2^{1/2}=√2。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。