kaoyan1basic 高等数学 第168题
📝 题目
## 第168题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既非充分也非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$f'(x)$在$(a,+\infty)$有界，则存在$M>0$使得$|f'(x)|\le M$。对任意$x_0\in(a,+\infty)$，由拉格朗日中值定理，$|f(x)-f(x_0)|\le M|x-x_0|$，从而$f(x)$有界，故充分性成立。 步骤2：反例：$f(x)=\ln x$在$(1,+\infty)$有界，但$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}$无界，故必要性不成立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断充分性
假设 f'(x) 在 (a,+∞) 有界，则存在 M>0 使得 |f'(x)| ≤ M。对任意 x0∈(a,+∞)，由拉格朗日中值定理，存在 ξ 介于 x 与 x0 之间，使得 |f(x)-f(x0)| = |f'(ξ)||x-x0| ≤ M|x-x0|。因此 f(x) 有界，充分性成立。
公式：|f(x)-f(x0)| = |f'(ξ)||x-x0| ≤ M|x-x0|
提示：利用拉格朗日中值定理将导数有界转化为函数有界。
步骤 2/2
目标：判断必要性
考虑反例 f(x)=ln x 在 (1,+∞) 上，f(x) 有界（因为 ln x 在 (1,+∞) 上单调递增且无上界？实际上 ln x 在 (1,+∞) 无上界，但题目要求有界，所以反例应为 f(x)=sin(ln x) 或类似？标准反例：f(x)=ln x 在 (1,+∞) 无界，但 f'(x)=1/x 有界？不对。正确反例：f(x)=sin(x^2) 在 (1,+∞) 有界，但 f'(x)=2x cos(x^2) 无界。或者更简单：f(x)=sin(ln x) 在 (1,+∞) 有界，但 f'(x)=cos(ln x)/x 有界？实际上 cos(ln x)/x 趋于0，有界。标准反例：f(x)=sin(x^2) 导数无界。但题目中 f(x)=ln x 在 (1,+∞) 无界，所以不是反例。正确反例：f(x)=sin(x^2) 在 (1,+∞) 有界，但 f'(x)=2x cos(x^2) 无界。因此必要性不成立。
公式：f(x)=sin(x^2), f'(x)=2x cos(x^2)
提示：构造有界函数但导数无界的反例。
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