kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 第3题 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$ 答题区 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$7$
**解析**： 步骤1：令 $t = x + \frac{1}{x}$，则 $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$，所以 $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$。 步骤2：因此 $f(t) = t^2 - 2$，即 $f(x) = x^2 - 2$。 步骤3：计算极限 $\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^2 - 2) = 3^2 - 2 = 7$。
**难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将表达式转化为关于 t 的函数
令 t = x + 1/x，则 t^2 = x^2 + 2 + 1/x^2，所以 x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2。因此 f(t) = t^2 - 2。
公式：t = x + 1/x, t^2 = x^2 + 2 + 1/x^2
提示：注意平方后交叉项为2。
步骤 2/3
目标：写出 f(x) 的表达式
由 f(t) = t^2 - 2 得 f(x) = x^2 - 2。
公式：f(x) = x^2 - 2
提示：将 t 替换为 x。
步骤 3/3
目标：计算极限
lim_{x→3} f(x) = lim_{x→3} (x^2 - 2) = 3^2 - 2 = 7。
公式：lim_{x→3} (x^2 - 2) = 7
提示：直接代入 x=3。
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