kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 第5题 I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\frac{1}{3}$
**解析**： 步骤1：提取公因式 $x$，原式化为 $$ I = \lim_{x \to +\infty} x \left( \sqrt[6]{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt[6]{1 - \frac{1}{x}} \right). $$
步骤2：令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$，原式化为 $$ I = \lim_{t \to 0^+} \frac{(1+t)^{1/6} - (1-t)^{1/6}}{t}. $$
步骤3：利用等价无穷小或导数定义，考虑函数 $f(u) = u^{1/6}$ 在 $u=1$ 处的导数，有 $$ (1+t)^{1/6} - (1-t)^{1/6} \sim \frac{1}{6} \cdot 2t = \frac{t}{3} \quad (t \to 0). $$
步骤4：代入极限得 $$ I = \lim_{t \to 0^+} \frac{t/3}{t} = \frac{1}{3}. $$
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简表达式，提取公因式
提取公因式 x，原式化为 I = lim_{x→+∞} x ( (1+1/x)^{1/6} - (1-1/x)^{1/6} )。
公式：\sqrt[6]{x^6+x^5} = x \sqrt[6]{1+1/x}, \quad \sqrt[6]{x^6-x^5} = x \sqrt[6]{1-1/x}
提示：注意 x>0，可直接提取。
步骤 2/4
目标：变量代换，转化为 t→0 的极限
令 t = 1/x，则 x→+∞ 时 t→0^+，原式化为 I = lim_{t→0^+} ((1+t)^{1/6} - (1-t)^{1/6}) / t。
公式：t = 1/x, \quad I = \lim_{t \to 0^+} \frac{(1+t)^{1/6} - (1-t)^{1/6}}{t}
提示：注意 t→0^+，但极限与方向无关。
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小或导数计算分子
考虑函数 f(u)=u^{1/6} 在 u=1 处的导数，f'(1)=1/6。由导数定义或泰勒展开，有 (1+t)^{1/6} - (1-t)^{1/6} ~ (1/6)*2t = t/3 (t→0)。
公式：(1+t)^{1/6} - (1-t)^{1/6} \sim \frac{1}{6} \cdot 2t = \frac{t}{3} \quad (t \to 0)
提示：也可用 (1+t)^α - 1 ~ αt 分别处理两项再相减。
步骤 4/4
目标：代入极限得到结果
将等价无穷小代入极限，得 I = lim_{t→0^+} (t/3)/t = 1/3。
公式：I = \lim_{t \to 0^+} \frac{t/3}{t} = \frac{1}{3}
提示：注意约去 t 后直接得到常数。
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