kaoyan1basic 高等数学 第51题
📝 题目
### 第51题 $\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x\ln x$ **解析**： 步骤1：对等式两边积分：$\int f'(e^x)dx = f(e^x) + C$，故$f(e^x)=-(1+x)e^{-x}+C$。 步骤2：令$t=e^x$，则$x=\ln t$，得$\displaystyle f(t)=-(1+\ln t)\cdot\frac{1}{t}+C$。 步骤3：由$f(1)=0$，代入$t=1$得$0=-(1+0)\cdot1+C$，故$C=1$。 步骤4：$\displaystyle f(t)=-\frac{1+\ln t}{t}+1$，化简得$\displaystyle f(x)=\frac{x-1-\ln x}{x}$，但进一步整理为$f(x)=x\ln x$？检查：原题答案应为$f(x)=x\ln x$，代入验证：$f'(e^x)=1+\ln e^x=1+x$，积分得$(1+x)e^x$，与给定不符，需重新计算。 步骤5：正确解法：由$\int f'(e^x)dx = f(e^x) + C$，得$f(e^x)=-(1+x)e^{-x}+C$。令$u=e^x$，则$x=\ln u$，$f(u)=-(1+\ln u)u^{-1}+C$。由$f(1)=0$得$C=1$，故$\displaystyle f(u)=1-\frac{1+\ln u}{u}$。化简：$\displaystyle f(x)=\frac{x-1-\ln x}{x}$。但题目答案常简化为$f(x)=x\ln x$？检查：若$f(x)=x\ln x$，则$f'(e^x)=1+\ln e^x=1+x$，$\displaystyle \int f'(e^x)dx=\int(1+x)dx=x+\frac{x^2}{2}+C$，与给定不符。故原题答案应为$\displaystyle f(x)=\frac{x-1-\ln x}{x}$。
**难度**：★★★☆☆