kaoyan1basic 高等数学 第50题
📝 题目
### 第50题 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， $3)$ ，则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ． ## □ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：拐点处二阶导数为$0$。由$\displaystyle \frac{dy}{dx}=(4-y)y^\beta$，两边对$x$求导： $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=(-y')y^\beta+(4-y)\beta y^{\beta-1}y'=y'[ -y^\beta+(4-y)\beta y^{\beta-1} ]$。 步骤2：在拐点$(x_0,3)$处，$y'=(4-3)\cdot3^\beta=3^\beta\neq0$，故需$-3^\beta+(4-3)\beta\cdot3^{\beta-1}=0$，即$-3^\beta+\beta\cdot3^{\beta-1}=0$，解得$\beta=3$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用拐点条件，二阶导数为0
由 $\frac{dy}{dx} = (4-y)y^\beta$，两边对 $x$ 求导得 $\frac{d^2y}{dx^2} = (-y')y^\beta + (4-y)\beta y^{\beta-1}y' = y'[-y^\beta + (4-y)\beta y^{\beta-1}]$。
公式：$\frac{d^2y}{dx^2} = y'[-y^\beta + (4-y)\beta y^{\beta-1}]$
提示：注意 $y$ 是 $x$ 的函数，求导时需使用链式法则。
步骤 2/3
目标：代入拐点坐标 $(x_0,3)$
在拐点 $(x_0,3)$ 处，$y=3$，$y' = (4-3)\cdot 3^\beta = 3^\beta \neq 0$。由于拐点处二阶导数为0，且 $y' \neq 0$，故 $-3^\beta + (4-3)\beta \cdot 3^{\beta-1} = 0$，即 $-3^\beta + \beta \cdot 3^{\beta-1} = 0$。
公式：$-3^\beta + \beta \cdot 3^{\beta-1} = 0$
提示：注意 $y' \neq 0$，否则无法直接约去。
步骤 3/3
目标：解方程求 $\beta$
方程 $-3^\beta + \beta \cdot 3^{\beta-1} = 0$ 两边除以 $3^{\beta-1}$（$3^{\beta-1} > 0$）得 $-3 + \beta = 0$，解得 $\beta = 3$。
公式：$\beta = 3$
提示：注意指数运算：$3^\beta / 3^{\beta-1} = 3$。
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