kaoyan1basic 高等数学 第49题
📝 题目
### 第49题 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{e^x-1}=2$及分母$\lim_{x\to0}(e^x-1)=0$，得$f(0)=0$。 步骤2：利用极限得$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\cdot\frac{x}{e^x-1}=2\cdot1=2$。 步骤3：法线斜率为$\displaystyle -\frac{1}{f'(0)}=-\frac{1}{2}$，过点$(0,0)$，法线方程为$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定f(0)的值
由极限lim_{x→0} f(x)/(e^x-1)=2，且分母lim_{x→0}(e^x-1)=0，根据极限存在的条件，分子也必须趋于0，即lim_{x→0} f(x)=0。又f(x)在x=0处连续，所以f(0)=0。
公式：lim_{x→0} (e^x-1)=0
提示：注意连续性的应用：f(0)=lim_{x→0} f(x)。
步骤 2/3
目标：计算f'(0)
利用导数定义：f'(0)=lim_{x→0} (f(x)-f(0))/(x-0)=lim_{x→0} f(x)/x。将已知极限变形：lim_{x→0} f(x)/(e^x-1)=2，而lim_{x→0} (e^x-1)/x=1，所以f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x = lim_{x→0} [f(x)/(e^x-1)] * [(e^x-1)/x] = 2*1=2。
公式：f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x
提示：利用等价无穷小：e^x-1 ~ x (x→0)。
步骤 3/3
目标：求法线方程
法线斜率为-1/f'(0)=-1/2，且法线过点(0, f(0))=(0,0)，所以法线方程为y = -1/2 x。
公式：法线斜率 = -1/切线斜率
提示：法线与切线垂直，斜率乘积为-1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。