kaoyan1basic 高等数学 第47题
📝 题目
### 第47题 设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**： 步骤1：由导数的极限性质，若$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=b$存在且有限，则$f(x)$在无穷远处线性增长，但$f(x)$有界，故$b$必须为$0$。 步骤2：反证法：若$b\neq0$，则当$x$充分大时$f'(x)$恒正或恒负，导致$f(x)$无界，矛盾。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用有界性和导数极限推导b的值
已知f(x)在(c,+∞)内有界且可导，且lim_{x→+∞} f'(x)=b存在。假设b≠0，则存在X>c，使得当x>X时，|f'(x)-b|<|b|/2，从而f'(x)与b同号且|f'(x)|>|b|/2。由拉格朗日中值定理，对任意x>X，存在ξ∈(X,x)使得f(x)-f(X)=f'(ξ)(x-X)，因此|f(x)|≥|f'(ξ)|(x-X)-|f(X)|>(|b|/2)(x-X)-|f(X)|，当x→+∞时无界，与f(x)有界矛盾。故b=0。
公式：拉格朗日中值定理：f(x)-f(X)=f'(ξ)(x-X)
提示：反证法是处理此类问题的常用方法。
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