kaoyan1basic 高等数学 第46题
📝 题目
### 第46题 函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：最小值为$0$，最大值为$27$ **解析**： 步骤1：令$g(x)=4x^3-18x^2+27$，求导得$g'(x)=12x^2-36x=12x(x-3)$，在$[0,2]$上$g'(x)\le 0$，故$g(x)$单调递减。 步骤2：计算端点值：$g(0)=27$，$g(2)=4\cdot8-18\cdot4+27=32-72+27=-13$。 步骤3：由零点定理，存在$x_0\in(0,2)$使$g(x_0)=0$，故$f(x)=|g(x)|$的最小值为$0$，最大值为$\max\{|g(0)|,|g(2)|\}=27$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数结构，转化为求绝对值内函数的最值
令 g(x)=4x^3-18x^2+27，则 f(x)=|g(x)|。由于绝对值函数的最小值可能为0，最大值出现在端点或极值点，先研究g(x)的单调性。
公式：g(x)=4x^3-18x^2+27
提示：绝对值函数的最值问题通常先考虑内部函数的符号变化。
步骤 2/5
目标：求g(x)的导数并判断单调性
求导得 g'(x)=12x^2-36x=12x(x-3)。在区间[0,2]上，x≥0，x-3≤0，故g'(x)≤0，所以g(x)在[0,2]上单调递减。
公式：g'(x)=12x(x-3)
提示：导数符号决定单调性，注意区间范围。
步骤 3/5
目标：计算端点值
g(0)=27，g(2)=4×8-18×4+27=32-72+27=-13。
提示：代入计算要准确。
步骤 4/5
目标：确定零点存在性
由于g(0)=27>0，g(2)=-13<0，且g(x)连续，由零点定理，存在x0∈(0,2)使得g(x0)=0。因此f(x)=|g(x)|的最小值为0。
公式：零点定理
提示：连续函数在区间端点异号则必有零点。
步骤 5/5
目标：求最大值
f(x)的最大值为端点处绝对值较大者：|g(0)|=27，|g(2)|=13，故最大值为27。
提示：单调函数的最值在端点取得。
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