kaoyan1basic 高等数学 第45题
📝 题目
### 第45题 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$4$ **解析**： 步骤1：$f(x)=3x^2+Ax^{-3}$，由均值不等式 $\displaystyle 3x^2+\frac{A}{x^3}=x^2+x^2+x^2+\frac{A}{x^3}\geq4\sqrt[4]{x^2\cdot x^2\cdot x^2\cdot\frac{A}{x^3}}=4\sqrt[4]{A}$。 步骤2：要求 $f(x)\geq20$，即 $4\sqrt[4]{A}\geq20$，得 $\sqrt[4]{A}\geq5$，$A\geq625$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用均值不等式将f(x)放缩为常数形式
将3x^2拆分为三个x^2，与Ax^{-3}共四项，应用均值不等式：3x^2 + A/x^3 = x^2 + x^2 + x^2 + A/x^3 ≥ 4 * (x^2 * x^2 * x^2 * A/x^3)^{1/4} = 4 * A^{1/4}
公式：均值不等式：a+b+c+d ≥ 4√[4]{abcd}，当a=b=c=d时取等
提示：注意将3x^2拆成三个x^2，使得乘积中x的指数和为0
步骤 2/2
目标：根据不等式建立关于A的条件
由f(x) ≥ 20，得4 * A^{1/4} ≥ 20，即A^{1/4} ≥ 5，解得A ≥ 625
公式：A^{1/4} ≥ 5 ⇒ A ≥ 5^4 = 625
提示：注意A为正常数，不等式方向不变
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