kaoyan1basic 高等数学 第44题
📝 题目
### 第44题 设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=-3$，$b=-9$ **解析**： 步骤1：$y'=3x^2+2ax+b$，$y''=6x+2a$。 步骤2：拐点处 $y''=0$，即 $6\cdot1+2a=0$，得 $a=-3$。 步骤3：点 $(1,3)$ 在曲线上：$1+a+b+14=3$，代入 $a=-3$ 得 $b=-9$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求二阶导数
对曲线方程 y = x^3 + a x^2 + b x + 14 求导，得到一阶导数 y' = 3x^2 + 2a x + b，再求二阶导数 y'' = 6x + 2a。
公式：y' = 3x^2 + 2a x + b, y'' = 6x + 2a
提示：注意求导法则，幂函数求导公式。
步骤 2/3
目标：利用拐点条件求 a
拐点处二阶导数为0，且拐点横坐标为1，代入 y'' = 6*1 + 2a = 0，解得 a = -3。
公式：y''(1) = 6 + 2a = 0
提示：拐点处二阶导数为0，但还需检查两侧二阶导数变号。
步骤 3/3
目标：利用点在曲线上求 b
点 (1,3) 在曲线上，代入原方程：1 + a + b + 14 = 3，将 a = -3 代入得 1 - 3 + b + 14 = 3，解得 b = -9。
公式：1 + a + b + 14 = 3
提示：代入时注意符号。
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