kaoyan1basic 高等数学 第43题
📝 题目
### 第43题 函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是 $\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：单调增区间 $(-\infty,1)$ 和 $(3,+\infty)$，单调减区间 $(1,3)$，极小值 $0$，凹区间 $(1,+\infty)$，凸区间 $(-\infty,1)$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle y'=\frac{2(x-3)(x-1)-(x-3)^2}{4(x-1)^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{4(x-1)^2}$，令 $y'=0$ 得 $x=-1$（舍去，不在定义域）和 $x=3$，定义域 $x\neq1$。 步骤2：$x<1$ 时 $y'>0$，$1
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求定义域
分母不为零，即 x ≠ 1，定义域为 (-∞,1)∪(1,+∞)。
步骤 2/7
目标：求一阶导数
y' = [2(x-3)(x-1) - (x-3)^2] / [4(x-1)^2] = [(x-3)(x+1)] / [4(x-1)^2]。
公式：y' = ((x-3)(x+1))/(4(x-1)^2)
提示：使用商的求导法则，注意化简。
步骤 3/7
目标：求驻点及不可导点
令 y'=0 得 x=-1 或 x=3。但 x=-1 不在定义域内，舍去。不可导点为 x=1（分母为零）。
提示：驻点需在定义域内。
步骤 4/7
目标：列表判断单调区间
将定义域分为 (-∞,1), (1,3), (3,+∞)。在 (-∞,1) 内 y'>0，单调增；在 (1,3) 内 y'<0，单调减；在 (3,+∞) 内 y'>0，单调增。
提示：代入区间内任意值判断导数符号。
步骤 5/7
目标：求极值
在 x=3 处由减变增，取得极小值 y(3)=0。
公式：y(3)=0
提示：极值点需在定义域内且导数变号。
步骤 6/7
目标：求二阶导数
y'' = 2/(x-1)^3。
公式：y'' = 2/(x-1)^3
提示：对一阶导数再次求导，注意化简。
步骤 7/7
目标：判断凹凸区间
当 x>1 时，y''>0，曲线凹；当 x<1 时，y''<0，曲线凸。
提示：二阶导数大于0为凹，小于0为凸。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。