kaoyan1basic 高等数学 第42题
📝 题目
### 第42题 设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是 $\_\_\_\_$。 （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$x=1$ **解析**： 步骤1：方程两边对 $x$ 求导得 $6y^2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0$。 步骤2：令 $y'=0$ 得 $2y-2x=0$，即 $y=x$，代入原方程得 $2x^3-2x^2+2x^2-x^2=1$，即 $2x^3-x^2-1=0$，解得 $x=1$。 步骤3：验证 $x=1$ 处 $y''<0$，故为极大值点，极值点为 $x=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对方程两边关于x求导
方程2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1两边对x求导，注意y是x的函数，得到6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x = 0。
公式：6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x = 0
提示：求导时注意隐函数求导法则，对y的函数求导后要乘以y'。
步骤 2/4
目标：令y'=0，得到y与x的关系
令y'=0，代入求导后的方程得2y - 2x = 0，即y = x。
公式：2y - 2x = 0 ⇒ y = x
提示：极值点处一阶导数为0。
步骤 3/4
目标：将y=x代入原方程求解x
将y=x代入原方程2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1，得2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - x^2 = 1，即2x^3 - x^2 - 1 = 0。因式分解得(x-1)(2x^2+x+1)=0，解得x=1（实根）。
公式：2x^3 - x^2 - 1 = 0 ⇒ (x-1)(2x^2+x+1)=0 ⇒ x=1
提示：注意2x^2+x+1=0无实根。
步骤 4/4
目标：验证x=1是否为极值点并判断极值类型
对一阶导数方程再次求导，或利用二阶导数判断。由原方程求二阶导，代入x=1,y=1，可得y''<0，故x=1为极大值点。
公式：y''(1) < 0
提示：也可通过一阶导数符号变化判断。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。