kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 第41题 曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为 $\_\_\_\_$。 （ ）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}$ **解析**： 步骤1：$x'(t)=-3\cos^2 t\sin t$，$y'(t)=3\sin^2 t\cos t$，则 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\tan t$。 步骤2：$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}(-\tan t)/x'(t)=-\sec^2 t/(-3\cos^2 t\sin t)=\frac{1}{3\cos^4 t\sin t}$。 步骤3：曲率 $\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}=\frac{1/(3\cos^4 t|\sin t|)}{(1+\tan^2 t)^{3/2}}=\frac{1}{3|\sin t|}$，当 $|\sin t|=1$ 时 $K$ 最小，此时曲率半径 $R=1/K=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶导数
计算 x'(t) 和 y'(t)：x'(t) = -3cos²t sin t，y'(t) = 3sin²t cos t。则 dy/dx = y'(t)/x'(t) = -tan t。
公式：x'(t) = -3cos²t sin t, y'(t) = 3sin²t cos t, dy/dx = -tan t
提示：注意参数方程求导公式 dy/dx = y'(t)/x'(t)。
步骤 2/5
目标：求二阶导数
计算 d²y/dx² = d(dy/dx)/dt / x'(t) = d(-tan t)/dt / x'(t) = -sec²t / (-3cos²t sin t) = 1/(3cos⁴t sin t)。
公式：d²y/dx² = 1/(3cos⁴t sin t)
提示：二阶导数公式 d²y/dx² = (d(dy/dx)/dt) / (dx/dt)。
步骤 3/5
目标：求曲率公式
曲率 K = |y''| / (1 + y'²)^(3/2) = |1/(3cos⁴t sin t)| / (1 + tan²t)^(3/2) = 1/(3|sin t|)。
公式：K = 1/(3|sin t|)
提示：注意绝对值，且 1+tan²t = sec²t。
步骤 4/5
目标：求曲率最小点
K 最小即分母最大，|sin t| 最大为 1，此时 t = π/2 + kπ。
提示：曲率最小对应曲率半径最大。
步骤 5/5
目标：求曲率半径
曲率半径 R = 1/K = 3|sin t|，当 |sin t|=1 时 R=3。
公式：R = 3
提示：曲率半径是曲率的倒数。
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