kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
### 第40题 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}, n \geqslant 2$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$(-1)^n(n-1)!\left[(-2)^n-3^n\right]$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\ln(1-2x)-\ln(1+3x)$。 步骤2：利用公式 $[\ln(1+ax)]^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!a^n(1+ax)^{-n}$，得 $[\ln(1-2x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!(-2)^n(1-2x)^{-n}$，$[\ln(1+3x)]^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!3^n(1+3x)^{-n}$。 步骤3：代入 $x=0$ 得 $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)![(-2)^n-3^n]=(-1)^n(n-1)!\left[(-2)^n-3^n\right]$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简函数表达式
将 f(x) = ln((1-2x)/(1+3x)) 分解为两个对数之差：f(x) = ln(1-2x) - ln(1+3x)。
公式：ln(a/b) = ln a - ln b
提示：注意定义域：1-2x>0且1+3x>0，但求导时只需考虑x=0附近。
步骤 2/3
目标：应用n阶导数公式
利用公式 [ln(1+ax)]^(n) = (-1)^(n-1) (n-1)! a^n (1+ax)^(-n)，分别对 ln(1-2x) 和 ln(1+3x) 求n阶导数。对于 ln(1-2x)，a=-2；对于 ln(1+3x)，a=3。
公式：[ln(1+ax)]^(n) = (-1)^(n-1) (n-1)! a^n (1+ax)^(-n)
提示：注意 a 的符号：ln(1-2x) 中 a=-2，代入公式时 a^n = (-2)^n。
步骤 3/3
目标：代入x=0求值
将 x=0 代入导数表达式，得到 f^(n)(0) = (-1)^(n-1) (n-1)! [(-2)^n - 3^n]。整理得 (-1)^n (n-1)! [(-2)^n - 3^n]。
公式：f^(n)(0) = (-1)^(n-1) (n-1)! [(-2)^n - 3^n]
提示：注意 (-1)^(n-1) 与 (-1)^n 的关系：(-1)^(n-1) = -(-1)^n，但此处结果直接写为 (-1)^n 形式。
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