kaoyan1basic 高等数学 第39题
📝 题目
### 第39题 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}+a^2y=0$ **解析**： 步骤1：令 $x=\sin t$，则 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\Big/\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dt}\Big/\cos t$。 步骤2：$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy/dt}{\cos t}\right)\Big/\frac{dx}{dt}=\frac{y''\cos t+y'\sin t}{\cos^3 t}$。 步骤3：代入原方程：$\displaystyle (1-\sin^2 t)\cdot\frac{y''\cos t+y'\sin t}{\cos^3 t}-\sin t\cdot\frac{y'}{\cos t}+a^2y=0$，化简得 $\displaystyle \frac{y''}{\cos t}+a^2y=0$，即 $\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}+a^2y=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：进行变量替换 x = sin t
令 x = sin t，则 t = arcsin x，且 x ∈ (-1,1) 对应 t ∈ (-π/2, π/2)。
公式：x = sin t
提示：注意定义域对应关系。
步骤 2/4
目标：计算一阶导数 dy/dx 关于 t 的表达式
利用链式法则：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (dy/dt) / cos t。
公式：dy/dx = (dy/dt) / cos t
提示：dx/dt = cos t，注意 cos t > 0 在 t ∈ (-π/2, π/2)。
步骤 3/4
目标：计算二阶导数 d²y/dx² 关于 t 的表达式
d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = [d/dt (dy/dx)] / (dx/dt) = [d/dt (y'/cos t)] / cos t，其中 y' = dy/dt。计算 d/dt (y'/cos t) = (y'' cos t + y' sin t) / cos² t，再除以 cos t 得 (y'' cos t + y' sin t) / cos³ t。
公式：d²y/dx² = (y'' cos t + y' sin t) / cos³ t
提示：注意对 t 求导时 y' 和 y'' 都是 t 的函数。
步骤 4/4
目标：将导数表达式代入原方程
原方程：(1-x²) d²y/dx² - x dy/dx + a² y = 0。代入 x = sin t，1-x² = 1-sin² t = cos² t，dy/dx = y'/cos t，d²y/dx² = (y'' cos t + y' sin t)/cos³ t。代入得：cos² t * (y'' cos t + y' sin t)/cos³ t - sin t * (y'/cos t) + a² y = 0，化简得 (y'' cos t + y' sin t)/cos t - (y' sin t)/cos t + a² y = 0，即 y'' + a² y = 0。
公式：y'' + a² y = 0
提示：注意化简过程中 y' sin t / cos t 项抵消。
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