kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 第38题 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{2x}{2+\sin y^2}dx$ **解析**： 步骤1：方程两边对 $x$ 求导：$2x+(2+\sin y^2)\cdot y'=0$。 步骤2：解得 $\displaystyle y'=-\frac{2x}{2+\sin y^2}$，故 $\displaystyle \mathrm{d}y=-\frac{2x}{2+\sin y^2}\mathrm{d}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：方程两边对x求导
对方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，积分上限求导需使用链式法则。
公式：$2x + (2+\sin y^2) \cdot y' = 0$
提示：对积分上限函数求导时，将上限代入被积函数再乘以上限的导数。
步骤 2/3
目标：解出y'
由 $2x + (2+\sin y^2) y' = 0$，移项得 $(2+\sin y^2) y' = -2x$，所以 $y' = -\frac{2x}{2+\sin y^2}$。
公式：$y' = -\frac{2x}{2+\sin y^2}$
提示：注意分母 $2+\sin y^2$ 恒大于0，因为 $\sin y^2 \geq -1$，所以分母至少为1。
步骤 3/3
目标：写出微分dy
由 $\mathrm{d}y = y' \mathrm{d}x$，代入 $y'$ 得 $\mathrm{d}y = -\frac{2x}{2+\sin y^2} \mathrm{d}x$。
公式：$\mathrm{d}y = -\frac{2x}{2+\sin y^2} \mathrm{d}x$
提示：微分形式直接由导数乘以dx得到。
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