kaoyan1basic 高等数学 第175题
📝 题目
## 第175题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点． （B）有 1 个零点． （C）有 2 个零点． （D）有 3 个零点．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle f'(x)=\frac{3}{x}-1$，令$f'(x)=0$得$x=3$。$f(3)=3\ln3-3>0$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$。 步骤2：由零点定理，在$(0,3)$和$(3,+\infty)$各有一个零点，共2个。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数并找出临界点
对函数 f(x)=3ln x - x 求导，得 f'(x)=3/x - 1。令 f'(x)=0，解得 x=3。
公式：f'(x)=3/x - 1
提示：注意定义域为 x>0。
步骤 2/4
目标：计算临界点处的函数值
代入 x=3，得 f(3)=3ln3 - 3。由于 ln3≈1.0986，所以 3ln3≈3.2958，f(3)≈0.2958>0。
公式：f(3)=3ln3 - 3
提示：不需要精确数值，只需判断正负。
步骤 3/4
目标：分析端点极限
当 x→0⁺时，ln x→-∞，所以 f(x)→-∞；当 x→+∞时，ln x 增长慢于 x，所以 f(x)→-∞。
公式：lim_{x→0⁺} f(x) = -∞, lim_{x→+∞} f(x) = -∞
提示：利用无穷大比较。
步骤 4/4
目标：应用零点定理判断零点个数
由于 f(x) 在 (0,3) 上连续，且 f(0⁺)=-∞<0，f(3)>0，所以在 (0,3) 内至少有一个零点；同理，在 (3,+∞) 上，f(3)>0，f(+∞)=-∞<0，所以至少有一个零点。又因为 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增再递减，故恰好有两个零点。
提示：注意单调性确保唯一性。
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