kaoyan1basic 高等数学 第174题
📝 题目
## 第174题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （A）既有垂直又有水平与斜渐近线． （B）仅有垂直渐近线． （C）只有垂直与水平渐近线。 （D）只有垂直与斜渐近线。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：定义域$|x|>1$，$\lim_{x\to1^+}y=+\infty$，$\lim_{x\to-1^-}y=+\infty$，有垂直渐近线$x=\pm1$。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=1$，$\lim_{x\to\infty}(y-x)=0$，有斜渐近线$y=x$。无水平渐近线。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定定义域
由分母√(x^2-1)得x^2-1>0，即|x|>1，定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)。
提示：注意根号内大于0。
步骤 2/4
目标：求垂直渐近线
考虑x→1^+和x→-1^-：lim_{x→1^+} y = +∞，lim_{x→-1^-} y = +∞，所以x=1和x=-1是垂直渐近线。
提示：只需考虑定义域边界点。
步骤 3/4
目标：求斜渐近线
计算斜率k=lim_{x→∞} y/x = lim_{x→∞} (x^2+1)/(x√(x^2-1)) = 1；截距b=lim_{x→∞} (y - kx) = lim_{x→∞} ( (x^2+1)/√(x^2-1) - x ) = 0，所以斜渐近线为y=x。
公式：k=lim_{x→∞} y/x, b=lim_{x→∞} (y - kx)
提示：注意x→-∞时结果相同。
步骤 4/4
目标：判断水平渐近线
由于存在斜渐近线，且斜率为非零常数，故无水平渐近线。
提示：水平渐近线是斜率为0的特殊情况。
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