kaoyan1basic 高等数学 第173题
📝 题目
## 第173题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则 （A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：令$g(x)=f(x)-x$，则$g(1)=0$，$g'(x)=f'(x)-1$。由$f'(x)$单调减少且$f'(1)=1$，知$x<1$时$f'(x)>1$，$x>1$时$f'(x)<1$。 步骤2：故$x\in(1-\delta,1)$时$g'(x)>0$，$g(x)<0$即$f(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造函数并求导
令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1)=f(1)-1=0$，$g'(x)=f'(x)-1$。
公式：g(x)=f(x)-x
步骤 2/3
目标：利用单调性分析导数符号
由 $f'(x)$ 单调减少且 $f'(1)=1$，可知：当 $x<1$ 时，$f'(x)>1$；当 $x>1$ 时，$f'(x)<1$。
提示：单调减少意味着自变量越大函数值越小。
步骤 3/3
目标：判断 $g(x)$ 的单调性及符号
因此，在 $(1-\delta,1)$ 内，$g'(x)=f'(x)-1>0$，$g(x)$ 单调递增，又 $g(1)=0$，故 $g(x)<0$，即 $f(x)
提示：注意 $g(1)=0$ 是边界点。
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