kaoyan1basic 高等数学 第171题
📝 题目
## 第171题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。 （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$y=(x-4)^{1/3}$，$\displaystyle y'=\frac{1}{3}(x-4)^{-2/3}$，$\displaystyle y''=-\frac{2}{9}(x-4)^{-5/3}$。 步骤2：当$x<4$时，$y''>0$，曲线凹；当$x>4$时，$y''<0$，曲线凸。$x=4$处$y''$不存在，但两侧凹凸性相反，故$(4,0)$为拐点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数和二阶导数
将曲线方程写为 y = (x-4)^{1/3}，求导得 y' = (1/3)(x-4)^{-2/3}，再求导得 y'' = -(2/9)(x-4)^{-5/3}。
公式：y' = (1/3)(x-4)^{-2/3}, y'' = -(2/9)(x-4)^{-5/3}
提示：注意幂函数求导公式，以及复合函数求导时内层函数为 x-4。
步骤 2/3
目标：分析二阶导数的符号
当 x < 4 时，x-4 < 0，则 (x-4)^{-5/3} < 0，故 y'' = -(2/9) * 负数 = 正数，即 y'' > 0，曲线凹；当 x > 4 时，x-4 > 0，则 (x-4)^{-5/3} > 0，故 y'' < 0，曲线凸。
公式：y'' 符号由 (x-4)^{-5/3} 决定
提示：注意负数的奇数次方根为负数，负数的偶数次方根无定义，但这里指数为 -5/3，是奇次根，负数有定义。
步骤 3/3
目标：判断拐点
在 x=4 处，y'' 不存在，但函数在该点连续（因为 y = (x-4)^{1/3} 在 x=4 处连续），且两侧凹凸性相反，因此 (4,0) 是拐点。
公式：拐点判定：二阶导数变号且函数连续
提示：拐点处二阶导数可能为零或不存在，关键是两侧凹凸性相反。
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