kaoyan1basic 高等数学 第177题
📝 题目
## 第177题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数． （B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数． （C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ． （D）在 $[-1,1]$ 不可积．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$f(x)$在$[-1,1]$有界且仅有一个间断点$x=0$，故可积，$F(x)$连续。 步骤2：$|F(x)|\le\int_{-1}^1|f(t)|dt\le2$，故有界。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断f(x)在[-1,1]上的可积性
f(x)在[-1,1]上有界，且仅有一个间断点x=0，因此f(x)在[-1,1]上可积。
提示：有界函数在闭区间上只有有限个间断点时可积。
步骤 2/4
目标：由可积性推出F(x)的连续性
由于f(x)在[-1,1]上可积，变上限积分函数F(x)=∫_{-1}^x f(t)dt在[-1,1]上连续。
提示：变上限积分函数在被积函数可积时连续。
步骤 3/4
目标：证明F(x)有界
对于任意x∈(-1,1)，|F(x)| ≤ ∫_{-1}^x |f(t)|dt ≤ ∫_{-1}^1 |f(t)|dt。由于|f(t)|≤1，所以∫_{-1}^1 |f(t)|dt ≤ 2，因此|F(x)|≤2，F(x)有界。
公式：|F(x)| ≤ ∫_{-1}^1 |f(t)|dt ≤ 2
提示：利用绝对值不等式和|f(t)|≤1放缩。
步骤 4/4
目标：综合结论
F(x)在(-1,1)上连续且有界，因此选项B正确。
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