kaoyan1basic 高等数学 第178题
📝 题目
## 第178题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时 （A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ． （B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：由$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，故当$t\in[x,x+\Delta x]$时$f(t)\ge f(x)$。 步骤2：$\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt\ge f(x)\Delta x>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析函数单调性
由条件 f'(x) > 0 可知 f(x) 在区间上单调递增，因此对于任意 t ∈ [x, x+Δx]，有 f(t) ≥ f(x)。
公式：f'(x) > 0 ⇒ f(x) 单调递增
提示：注意 Δx > 0，所以区间右端点大于左端点。
步骤 2/3
目标：比较积分与矩形面积
由于 f(t) ≥ f(x) 在积分区间上成立，积分 ∫_x^{x+Δx} f(t) dt 表示曲线下面积，它不小于以 f(x) 为高、Δx 为宽的矩形面积，即 ∫_x^{x+Δx} f(t) dt ≥ f(x)Δx。又因为 f(x) > 0 且 Δx > 0，所以 f(x)Δx > 0。
公式：∫_x^{x+Δx} f(t) dt ≥ f(x)Δx > 0
提示：积分保号性：若被积函数非负，则积分非负。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此 ∫_x^{x+Δx} f(t) dt > f(x)Δx > 0，对应选项 A。
提示：注意严格不等式：由于 f(t) 严格递增，在区间内部 f(t) > f(x)，故积分严格大于矩形面积。
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