kaoyan1basic 高等数学 第179题
📝 题目
## 第179题 (高等数学 - 选择题) 考察下列叙述： （1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分． 我们可知 （A）只有（1），（2）正确． （B）只有（2），（3）正确． （C）只有（2），（4）正确． （D）只有（3），（4）正确．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：(1)反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-1,&x<0\end{cases}$，$f^2(x)=1$连续，但$f(x)$不连续。 步骤2：(2)正确，由连续函数的绝对值仍连续。 步骤3：(3)反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\-1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，$|f(x)|=1$可积，但$f(x)$不可积。 步骤4：(4)正确，有界且有限个间断点可积。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断叙述(1)的正确性
考虑反例：f(x)=1当x≥0，f(x)=-1当x<0。则f^2(x)=1在x=0连续，但f(x)在x=0不连续。因此(1)错误。
提示：注意平方后连续不能推出原函数连续，因为平方丢失了符号信息。
步骤 2/4
目标：判断叙述(2)的正确性
由连续函数的性质：若f(x)在x0连续，则|f(x)|也在x0连续。因此(2)正确。
提示：绝对值函数是连续函数，复合连续函数仍连续。
步骤 3/4
目标：判断叙述(3)的正确性
考虑反例：f(x)=1当x为有理数，f(x)=-1当x为无理数。则|f(x)|=1在[a,b]上可积，但f(x)在任意区间上不可积（因为黎曼积分要求几乎处处连续，而f处处不连续）。因此(3)错误。
提示：绝对值可积不能推出原函数可积，因为符号变化可能导致不可积。
步骤 4/4
目标：判断叙述(4)的正确性
若f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)可积。而|f(x)|也有界且间断点至多增加有限个（绝对值可能消除某些间断点，但不会增加新的间断点），因此|f(x)|也可积。故(4)正确。
提示：有界且有限个间断点是可积的充分条件，绝对值不改变有界性和间断点个数。
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