kaoyan1basic 高等数学 第181题
📝 题目
## 第181题 (高等数学 - 选择题) 下列命题中有一个正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ． （B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积． （C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：A反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq0\end{cases}$，积分值为0。 步骤2：B正确，若$f+g$可积，则$g=(f+g)-f$可积，矛盾。 步骤3：C反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\-1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，$f^2=1$可积，但$f$不可积。 步骤4：D反例：$f(x)=\begin{cases}0,&x\neq x_0\\1,&x=x_0\end{cases}$，$F(x)$在$x_0$可导。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
考虑反例：f(x)在[a,b]上除一点外均为0，例如f(x)=1仅在x=0处，其余为0，则积分值为0，故A错误。
提示：可积函数非负且不恒为零，积分不一定大于0，因为可能只在有限个点非零。
步骤 2/4
目标：分析选项B
假设f+g可积，则g=(f+g)-f，由于可积函数的差仍可积，推出g可积，与已知矛盾，故B正确。
提示：利用可积函数的线性性质。
步骤 3/4
目标：分析选项C
考虑反例：狄利克雷函数变体，f(x)=1当x为有理数，-1当x为无理数，则f^2(x)=1可积，但f(x)不可积，故C错误。
提示：平方可积不能推出原函数可积。
步骤 4/4
目标：分析选项D
考虑反例：f(x)在x0处为1，其余为0，则F(x)=0，在x0处可导且导数为0，故D错误。
提示：改变有限个点的函数值不影响积分，且变上限积分函数可能可导。
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