kaoyan1basic 高等数学 第182题
📝 题目
## 第182题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为 （1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ． （2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ． （3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 下述结论不正确的是
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：(1)正确，由连续函数性质，若存在$f(x_0)>0$，则存在邻域积分大于0。 步骤2：(2)正确，由连续函数保号性。 步骤3：(3)错误，若$f(x)$为负，则积分可能更小。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断结论（1）的正确性
假设存在某点x0∈[a,b]使得f(x0)>0，由连续性，存在邻域(x0-δ,x0+δ)内f(x)>0，则在该邻域上的积分>0，与任意子区间积分为0矛盾。同理若f(x0)<0也会矛盾。因此f(x)≡0。结论（1）正确。
提示：利用连续函数的局部保号性及积分性质。
步骤 2/3
目标：判断结论（2）的正确性
由f(x)≥0且∫_a^b f(x)dx=0，若存在某点x0使得f(x0)>0，则存在邻域内f(x)>0，积分>0，与总积分为0矛盾。故f(x)≡0。结论（2）正确。
提示：非负连续函数积分为0则函数恒为0。
步骤 3/3
目标：判断结论（3）的正确性
考虑f(x)在[a,b]上可能为负。例如f(x)=-1，[α,β]=[a,b]时，左边∫_a^b (-1)dx = -(b-a)，右边∫_a^β (-1)dx = -(β-a)，由于β≤b，右边≥左边，但不等式方向相反。实际上，当f(x)为负时，积分区间越大，积分值越小，故∫_a^b f(x)dx ≤ ∫_a^β f(x)dx。因此结论（3）错误。
提示：注意积分区间长度与函数符号的关系。
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