kaoyan1basic 高等数学 第184题
📝 题目
## 第184题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$M>N>K$ ． （B）$M>K>N$ ． （C）$K>M>N$ ． （D）$K>N>M$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle M=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+2x+x^2}{1+x^2}dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\frac{2x}{1+x^2}\right)dx=\pi$（奇函数部分积分为0）。 步骤2：$N=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+x)e^{-x}dx$，奇函数部分积分为0，$N=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-x}dx=2\sinh(\pi/2)<\pi$。 步骤3：$K=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\sqrt{\cos x})dx=\pi+2\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos x}dx>\pi$。故$K>M>N$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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