kaoyan1basic 高等数学 第202题
📝 题目
## 第202题 (高等数学 - 选择题) 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：A中$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{1}{\sin x}dx$，$x=0$为瑕点，$\displaystyle \frac{1}{\sin x}\sim\frac{1}{x}$，$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{x}dx$发散，故A发散。步骤2：B中$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$，瑕点$x=\pm1$，但$\displaystyle \int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x\big|_{-1}^1=\pi$，收敛。步骤3：C中$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$，收敛。步骤4：D中$\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2 x}dx=\left[-\frac{1}{\ln x}\right]_2^{+\infty}=\frac{1}{\ln2}$，收敛。 **难度**：★★☆☆☆