kaoyan1basic 高等数学 第201题
📝 题目
## 第201题 (高等数学 - 选择题) 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$ （A）0． （B）不存在． （C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\int_0^{n\pi}|\sin x|dx=n\int_0^{\pi}\sin x dx=n\cdot2=2n$。步骤2：原极限$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{(n+1)\pi}=\frac{2}{\pi}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算积分 ∫_0^{nπ} |sin x| dx
利用周期性：|sin x| 的周期为 π，在 [0, π] 上积分为 ∫_0^π sin x dx = 2。因此 ∫_0^{nπ} |sin x| dx = n × 2 = 2n。
公式：∫_0^{nπ} |sin x| dx = n ∫_0^π sin x dx = 2n
提示：注意绝对值函数的周期性，将区间长度除以周期。
步骤 2/2
目标：求极限 lim_{n→∞} [2n / ((n+1)π)]
代入积分结果，原极限 = lim_{n→∞} 2n / ((n+1)π) = lim_{n→∞} (2/π) * n/(n+1) = (2/π) * 1 = 2/π。
公式：lim_{n→∞} n/(n+1) = 1
提示：分子分母同除以 n，利用极限运算法则。
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