kaoyan1basic 高等数学 第200题
📝 题目
## 第200题 (高等数学 - 选择题) 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：原极限$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+(\frac{k}{n})^2}$。步骤2：这是函数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^2}$在$[0,1]$上的黎曼和，极限为$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$。步骤3：计算得$\displaystyle \arctan x\big|_0^1=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限转化为定积分形式
原极限 = lim_{n→∞} (1/n) * Σ_{k=1}^n 1/(1+(k/n)^2)。
公式：lim_{n→∞} (1/n) Σ_{k=1}^n f(k/n) = ∫_0^1 f(x) dx
提示：注意将通项写成 (1/n) * f(k/n) 的形式，其中 f(x)=1/(1+x^2)。
步骤 2/2
目标：计算定积分
∫_0^1 1/(1+x^2) dx = arctan x |_0^1 = π/4。
公式：∫ 1/(1+x^2) dx = arctan x + C
提示：arctan(1)=π/4，arctan(0)=0。
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