kaoyan1basic 高等数学 第199题
📝 题目
## 第199题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$f(x)$在$x=0$处有跳跃间断点（$\lim_{x\to0^-}f(x)=1$，$f(0)=0$），根据原函数存在定理，有第一类间断点的函数不存在原函数。步骤2：$g(x)$在$x=0$处连续（$\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0=g(0)$），且$g(x)$在$(-1,1)$上连续，故存在原函数。步骤3：因此$f(x)$不存在原函数，$g(x)$存在原函数。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断f(x)是否存在原函数
f(x)在x=0处有跳跃间断点：左极限为1，右极限为0，函数值为0。根据原函数存在定理，有第一类间断点的函数不存在原函数。
提示：原函数存在定理：若函数在某点有第一类间断点，则不存在原函数。
步骤 2/3
目标：判断g(x)是否存在原函数
g(x)在x=0处连续：lim_{x→0} x sin(1/x)=0=g(0)。g(x)在(-1,1)上连续，故存在原函数。
提示：连续函数一定存在原函数。
步骤 3/3
目标：得出结论
f(x)不存在原函数，g(x)存在原函数，故选D。
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