kaoyan1basic 高等数学 第198题
📝 题目
## 第198题 (高等数学 - 选择题) 设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为 （A） 5 ． （B） 6 ． （C） 7 ． （D） 8 ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由$f(2x)=2f(x)$，令$x=1$得$f(2)=2f(1)$。步骤2：令$\displaystyle x=\frac{t}{2}$，则$\displaystyle f(t)=2f(\frac{t}{2})$，即$\displaystyle f(x)=2f(\frac{x}{2})$。步骤3：计算$\int_1^2 xf(x)dx$，令$x=2u$，则$dx=2du$，$x=1$时$\displaystyle u=\frac{1}{2}$，$x=2$时$u=1$，原积分$\displaystyle =\int_{\frac{1}{2}}^1 2u\cdot f(2u)\cdot 2du=4\int_{\frac{1}{2}}^1 u\cdot 2f(u)du=8\int_{\frac{1}{2}}^1 uf(u)du$。步骤4：又$\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx=\int_0^{\frac{1}{2}} xf(x)dx+\int_{\frac{1}{2}}^1 xf(x)dx$，且令$x=2v$，$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} xf(x)dx=\int_0^{\frac{1}{4}}2v\cdot f(2v)\cdot2dv=4\int_0^{\frac{1}{4}}v\cdot2f(v)dv=8\int_0^{\frac{1}{4}}vf(v)dv$，不易直接得倍数。步骤5：利用$\displaystyle f(x)=2f(\frac{x}{2})$递推，令$x=2^n t$，得$f(2^n t)=2^n f(t)$。步骤6：将$\int_1^2 xf(x)dx$拆分为$\displaystyle \int_1^2 x\cdot2f(\frac{x}{2})dx$，令$\displaystyle u=\frac{x}{2}$，得$\displaystyle 8\int_{\frac{1}{2}}^1 uf(u)du$。步骤7：而$\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx=\int_0^{\frac{1}{2}} xf(x)dx+\int_{\frac{1}{2}}^1 xf(x)dx$，其中$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} xf(x)dx$令$x=2u$得$\displaystyle 8\int_0^{\frac{1}{4}} uf(u)du$，无法直接得到倍数。步骤8：考虑特殊函数，取$f(x)=x$满足条件，则$\displaystyle \int_1^2 x^2 dx=\frac{7}{3}$，$\displaystyle \int_0^1 x^2 dx=\frac{1}{3}$，故$a=7$。 **难度**：★★★★☆