kaoyan1basic 高等数学 第197题
📝 题目
## 第197题 (高等数学 - 选择题) 函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$ （A）为正数． （B）为负数． （C）恒为零． （D）不是常数．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：被积函数$g(t)=\ln(1+\cos^2 t)\cos 2t$，周期为$\pi$。步骤2：$F(x)=\int_x^{x+\pi}g(t)dt$，由于$g(t)$以$\pi$为周期，且积分区间长度恰为一个周期，故$F(x)$为常数。步骤3：计算该常数，取$x=0$，$F(0)=\int_0^\pi\ln(1+\cos^2 t)\cos 2t dt$。步骤4：令$\displaystyle u=t-\frac{\pi}{2}$，则$\displaystyle \cos 2(u+\frac{\pi}{2})=-\cos 2u$，$\displaystyle \cos^2(u+\frac{\pi}{2})=\sin^2 u$，被积函数为奇函数在对称区间积分，结果为0。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析被积函数的周期性
被积函数 g(t) = ln(1+cos^2 t) cos 2t 中，cos^2 t 和 cos 2t 的周期均为 π，因此 g(t) 以 π 为周期。
提示：注意 cos^2 t 的周期是 π，cos 2t 的周期也是 π，所以乘积周期为 π。
步骤 2/6
目标：利用周期函数积分性质
由于 g(t) 周期为 π，且积分区间长度为 π，所以 F(x) = ∫_x^{x+π} g(t) dt 与 x 无关，为常数。
提示：周期函数在一个周期内的积分与起点无关。
步骤 3/6
目标：取特殊值简化计算
取 x = 0，则 F(0) = ∫_0^π ln(1+cos^2 t) cos 2t dt。
提示：选择 x=0 使积分区间为 [0,π]。
步骤 4/6
目标：变量代换
令 u = t - π/2，则 t = u + π/2，dt = du，积分限变为 u: -π/2 到 π/2。cos 2t = cos(2u+π) = -cos 2u，cos^2 t = cos^2(u+π/2) = sin^2 u。被积函数变为 ln(1+sin^2 u) * (-cos 2u)。
公式：cos(2u+π) = -cos 2u, cos^2(u+π/2) = sin^2 u
提示：注意三角恒等式的应用。
步骤 5/6
目标：判断奇偶性
令 h(u) = ln(1+sin^2 u) cos 2u，则 h(-u) = ln(1+sin^2(-u)) cos(-2u) = ln(1+sin^2 u) cos 2u = h(u)，所以 h(u) 是偶函数。但被积函数为 -h(u)，因此是奇函数？实际上被积函数为 -h(u)，而 h(u) 是偶函数，所以 -h(u) 是奇函数。在对称区间 [-π/2, π/2] 上积分，奇函数积分为0。
提示：奇函数在对称区间积分为0。
步骤 6/6
目标：得出结果
因此 F(0)=0，即 F(x) 恒为零。
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