kaoyan1basic 高等数学 第193题
📝 题目
## 第193题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$ ，则曲线 $y=F(x)$ （A）在 $(-\infty, 0)$ 是凹的，在 $(0,+\infty)$ 是凸的． （B）在 $(-\infty, 0)$ 是凸的，在 $(0,+\infty)$ 是凹的． （C）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凹的． （D）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凸的． □ 194设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$F'(x)=\int_0^{x^2}\ln(1+t^2)dt$，$F''(x)=2x\ln(1+x^4)$。步骤2：当$x<0$时，$F''(x)<0$，曲线凸；当$x>0$时，$F''(x)>0$，曲线凹。步骤3：在$(-\infty,0)$上凸，在$(0,+\infty)$上凹。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求F(x)的一阶导数
由变上限积分求导公式，F'(x) = d/dx ∫_0^x (∫_0^{u^2} ln(1+t^2) dt) du = ∫_0^{x^2} ln(1+t^2) dt
公式：d/dx ∫_a^x g(u) du = g(x)
提示：注意外层积分上限是x，内层积分上限是u^2，求导时先对外层用公式，再对内层用复合函数求导。
步骤 2/3
目标：求F(x)的二阶导数
F''(x) = d/dx ∫_0^{x^2} ln(1+t^2) dt = 2x ln(1+(x^2)^2) = 2x ln(1+x^4)
公式：d/dx ∫_0^{h(x)} f(t) dt = f(h(x)) h'(x)
提示：注意内层函数是x^2，其导数为2x。
步骤 3/3
目标：判断凹凸性
当x<0时，F''(x)=2x ln(1+x^4)<0，曲线是凸的；当x>0时，F''(x)>0，曲线是凹的。因此，在(-∞,0)上凸，在(0,+∞)上凹。
公式：若f''(x)>0，曲线凹；若f''(x)<0，曲线凸。
提示：注意ln(1+x^4)>0恒成立，所以符号由x决定。
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