kaoyan1basic 高等数学 第192题
📝 题目
## 第192题 (高等数学 - 选择题) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：由变限积分求导公式，$\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)dt=g(\varphi_2(x))\varphi_2'(x)-g(\varphi_1(x))\varphi_1'(x)$。步骤2：这里$\varphi_2(x)=2x^3$，$\varphi_2'(x)=6x^2$；$\varphi_1(x)=\cos^2 x$，$\varphi_1'(x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x$。步骤3：$\displaystyle g(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$，代入得$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+(2x^3)^2}}\cdot6x^2-\frac{1}{\sqrt{1+(\cos^2 x)^2}}\cdot(-\sin 2x)=\frac{6x^2}{\sqrt{1+4x^6}}+\frac{\sin 2x}{\sqrt{1+\cos^4 x}}$。 **难度**：★★☆☆☆